Міністерство освіти і науки України Національний університет «Львівська політехніка» кафедра САПР
Лабораторна робота №6 з курсу "Чисельні методи в інформатиці" на тему: МЕТОДИ ЧИСЕЛЬНОГО ІНТЕГРУВАННЯ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ Виконав: cт. гр. КН-3 Львів-2008 1. МЕТА РОБОТИ Мета роботи - ознайомлення з методами чисельного інтегрування диференціальних рівнянь та їх практичним застосуванням. 2. ТЕОРЕТИЧНА ЧАСТИНА 2.1. Задача Коші для звичайних диференціальних рівнянь та методи її розв'язування. Задача Коші ставиться так - необхідно знайти на відрізку
розв'язок
диференціальнного рівняння:
(1) який задовільняє початкову умову:
(2) Знайти точний розв'язок задачі (1)-(2), тобто виразити його через елементарні чи спеціальні функції, або подати через квадратури від елемен-тарних чи спеціальних функцій вдається лише в небагатьох практичнних задачах. Інколи, якщо навіть і вдається знайти точний розв'язок, він має досить складний вигляд і користуватись ним практично неможливо. Тому для розв'язування задачі доводиться застосовувати наближені методи. Наближені методи можна поділити на два типи: аналітичні (які дають наближений розв'язок диференціального рівняння у вигляді аналітичного виразу) і чисельні (які дають наближений розв'язок у вигляді таблиці значень). До аналітичних наближених методів відносяться: ітераційний метод Пікара, метод, який грунтується на розкладі розв'язку задачі Коші в ряд Тейлора. Відомі й інші аналітичні методи розв'язування задачі, наприклад, асимптотичні, (1)-(2), але ми не розглядатимемо їх. Для розв'язування задачі Коші широко застосовуються чисельні методи. Вони дають можливість знаходити наближені значення (а інколи й точні) шуканого розв'язку
в деяких фіксованих точках (вузлах):
Слід пам'ятати, що чисельні методи можна застосовувати лише для конкретно поставлених задач. Причому для успішного застосування чи-сельних методів задача має бути не тільки формально стійкою, а й добре обумовленою. Інакше незначні похибки в початкових умовах чи в проміж-них обчисленннях можуть призвести до великої похибки результату. Звичайно для розв'язування задачі Коші треба брати стійкі чисельні методи (алгоритми). 2.1.1. Методи типу Ейлера. Побудуємо формули, які дають можливість знайти наближене значення шуканого розв'язку
задачі Коші в точці
, якщо значення цього розв'язку відоме в попередній точці

. Оскільки розв'язок в початковій точці відомий з початкових умов задачі, то за цими формулами послідовно можна обчислити значення розв'язку в точках
Проінтегруємо рівняння (1) від
до
, де
.
(3) де:
. Для наближеного обчислення інтегралу в (2) можна використати квадратурні формули. Використавши ту чи іншу квадратурну структуру, можна дістати різні формули чисельного інтегрування задачі Коші. Якщо, наприклад, інтеграл в (3) обчислити за формулою лівих прямокутників, то матимемо:
(4) Відкинувши член порядку
, з останьої рівності дістанемо:
(5) де через
позначено наближене значення розв'язку
. Формула (5) називається формулою Ейлера. Починаючи з
, за формулою (5) можна знайти послідовно в точках
,
, і т.д. наближені значення розв'язку y(x) задачі (1)-(2). Похибка методу Ейлера на кожному кроці має порядок
. Метод Ейлера не застосовується в обчислювальній практиці, оскіль-ки має невелику точність, і, крім того, досить часто виявляється нестійким (приводить до систематичного нагромадження похибок). Якщо для обчислення інтегралу в (3) використати формулу середніх прямокутників, то для чисельного інтегрування задачі Коші можна побу-дувати формули, похибка яких на кожному кроці матиме порядок
. За формулою середніх прямокутників:
(6) З формули (6) після деяких перетворень отримаємо:
(7) Формула (7) визначає модифікований метод Ейлера. За цим методом значення розв'язку в точці
знаходять двома кроками: спочатку методом Ейлера з кроком
обчислюють проміжне значення
, а потім вже знаходять значення
. Якщо для обчислення інтегралу в (3) використати формулу трапе-...